Bendrosios programos · 20 priedas · galioja nuo 2026-09-01

Matematika 5-12 klasėje

Visas mokymo turinys pagal naują redakciją, po vieną puslapį kiekvienai klasei. Pakeisti punktai pažymėti, o kas iš klasės iškrito, surašyta atskirai. Punktų numeriai ir temų perkėlimai yra paspaudžiami.

8klasės 123temos 47pakeista V-594įsakymas

20 priedas · 28 punktas

5 klasė

14temos7pakeista

Ko nebeliko

  • Finansiniai skaičiavimai (28.1.3 punktas neteko galios)
  • Dėsningumai: skaičių sekos ir įvesties bei išvesties lentelės
  • Raidiniai reiškiniai (perkelta į 6 klasę)
  • Skaičiaus visumos radimas (į 6 klasę) ir procentinis didėjimas bei mažėjimas (į 7 klasę)
  • Posūkio ir postūmio transformacijos

28.1Skaičiai ir skaičiavimai

28.1.1Natūralieji ir sveikieji skaičiai

28.1.1.1

Natūralieji skaičiai

Nagrinėjami romėnų skaitmenų ir skaičių rašymo pavyzdžiai, mokoma(si) perskaityti ir užrašyti romėniškuosius skaičius iki 3000. Aptariama, kokia skaičiavimo sistema vadinama dešimtaine, pozicine. Apibendrinami natūraliųjų skaičių apibūdinimo būdai (vaizduojant skaičių tiesėje, užrašant skaitmenimis, skyrių suma, žodžiais, vartojant trumpinius tūkst., mln., mlrd., …). Mokoma(si) natūraliuosius skaičius palyginti, apvalinti, naudojant ne tik skaičių tiesės modelį, bet ir pagrindžiant bei taikant kitus skaičiams palyginti ir apvalinti taikomus metodus (pavyzdžiui, atsižvelgiant į pozicinę skaitmens reikšmę (skaitmens vietą skaičiuje), kai juos norima palyginti). Nagrinėjamos įvairios situacijos, kai taikoma apvalinimo taisyklė.

28.1.1.2

Veiksmai su natūraliaisiais skaičiais

Įsitikinama, kad veiksmams su natūraliaisiais skaičiais galioja sudėties ir daugybos perstatomumo bei jungiamumo, skirstomumo, sudėties su nuliu, daugybos iš vieneto dėsniai (veiksmų savybės). Šie dėsniai užrašomi ir raidinėmis išraiškomis. Mokoma(si) padalyti iš dviženklio skaičiaus. Praktikuojamasi naudotis patogiais skaičiavimo metodais (mintinio skaičiavimo strategijomis), siekiant palengvinti skaičiavimus. Sprendžiami įvairaus konteksto probleminiai uždaviniai, kuomet reikia surasti, atsirinkti skaitinę informaciją, išskaidyti uždavinį į dalis, performuluoti uždavinį, taikyti kelis veiksmus, sudaryti skaitinį reiškinį. Mokoma(si) įvardyti atliekamų veiksmų komponentus. Mokoma(si) atpažinti skaičius, kurie dalijasi iš 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100. Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus daliklis, skaičiaus kartotinis; pirminis skaičius, sudėtinis skaičius; lyginis skaičius, nelyginis skaičius. Mokoma(si) atrinkti skaičius iš nurodyto nedidelio skaičių intervalo, kad šie skaičiai atitiktų nurodytą požymį ar kriterijų. Nagrinėjamos situacijos, kuriose sudėtinį skaičių skaidome pirminiais dauginamaisiais, tyrinėjami įvairūs skaičiaus skaidymo pirminiais dauginamaisiais būdai. Sprendžiami probleminiai uždaviniai, kai reikia rasti kelių skaičių (mažiausią) bendrąjį kartotinį, (didžiausią) bendrąjį daliklį.

28.1.2Trupmenos ir dalys

28.1.2.1

Trupmenos

pakeistaIšimtas žodis „apvalinti“, kai kalbama apie paprastąsias trupmenas. Dešimtainių trupmenų apvalinimas lieka.

Nagrinėjamos trupmenos mn, kurių skaitiklyje ir vardiklyje gali būti bet koks natūralusis skaičius. Apibrėžiamos sąvokos: taisyklingosios trupmenos, netaisyklingosios trupmenos; mokoma(si) iš netaisyklingosios trupmenos išskirti sveikąją dalį, mišrųjį skaičių užrašyti netaisyklingąja trupmena. Praktikuojamasi suprastinti, pertvarkyti, palyginti trupmenas. Mokoma(si) trupmenas, kurių vardiklyje yra 10, 100, 1000, …, užrašyti dešimtainiu skaičiumi (su kableliu) ir atvirkščiai. Praktikuojamasi dešimtainius skaičius perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, skyrių suma, pavaizduoti skaičių tiesėje, palyginti, apvalinti.

28.1.2.2

Veiksmai su trupmenomis

pakeistaSkaičiaus visumos radimas perkeltas į 6 klasę, procentinis didėjimas ir mažėjimas į 7 klasę.

Praktikuojamasi sudėti ir atimti mišriuosius skaičius, kurių trupmeninės dalys išreikštos trupmenomis su skirtingais vardikliais ir kai trupmeninių dalių suma peržengia vienetą. Trupmenos mn daugyba iš natūraliojo skaičiaus apibrėžiama kaip tokių pačių trupmenų sumavimas. Naudojant vaizdinius modelius, išsiaiškinama, kodėl bendruoju atveju yra teisinga lygybė c⋅a b=c⋅a:b ir kodėl trupmenoms gali būti taikomi perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo, daugybos iš nulio ir vieneto dėsniai (veiksmų savybės). Pagrindžiami su trupmenomis mn, mišriaisiais skaičiais atliekami sudėties, atimties, daugybos iš natūraliojo skaičiaus veiksmai. Jie taikomi, sprendžiant praktinio turinio uždavinius. Paaiškinama, kad veiksmams su dešimtainiais skaičiais galioja nagrinėti trupmenų dėsniai, jiems galima pritaikyti dešimtainę pozicinę skaičiavimo sistemą ir atlikti veiksmus panašiai kaip su natūraliaisiais skaičiais. Apibrėžiama procento sąvoka, mokoma(si) ją taikyti, sprendžiant skaičiaus (dydžio) dalies radimo uždavinius.

28.1.3

Neteko galios

pakeistaPunktas neteko galios. Finansinių skaičiavimų 5 klasėje nebeliko.

28.2Modeliai ir sąryšiai

28.2

Algebra. Lygtys

pakeistaSprendžiamos tik 1 iki 2 žingsnių lygtys (buvo iki 3). Iš šios srities išbraukti dėsningumai ir raidiniai reiškiniai.

Įsitikinama, kad skaitinėms lygybėms būdingos savybės: jeigu a=b, tai b=a; jeigu a=b ir b=c, tai a=c; jeigu a=b, tai a+c=b+c; jeigu a=b, tai a-c=b-c; jeigu a=b, tai a∙c = b∙c; jeigu a=b ir c≠0, tai a :c=b :c. Mokoma(si) spręsti 1–2 žingsnių lygtis (pirmojo laipsnio) su vienu nežinomuoju ax±b=c, jų sprendimo algoritmą grindžiant skaitinių lygybių savybėmis. Nagrinėjamos tokia pačia lygtimi aprašomos situacijos, parodoma, kad ta pati situacija gali būti aprašyta skirtingomis lygtimis.

28.3Geometrija ir matavimai

28.3.1Matavimo skalės ir vienetai

28.3.1.1

Kelias, laikas, greitis

pakeistaNebereikalingi uždaviniai, kuriuose objektai pradeda judėti skirtingu laiku.

Sprendžiami dviejų kūnų judėjimo ta pačia kryptimi, priešingomis kryptimis, priešpriešinio judėjimo uždaviniai, kuomet objektai pradeda judėti tuo pačiu laiku (atliekami veiksmai – sudėtis, daugyba iš natūraliojo skaičiaus – ir su dešimtainiais skaičiais). Mokantis spręsti judėjimo uždavinius, pasitelkiamos schemos, įvairūs modeliai, aptariama ir taikoma kelio formulė.

28.3.1.2

Ilgis, plotas, tūris, talpa

Aptariama metrinė matavimo sistema, įvairūs ilgio, ploto, tūrio, talpos matavimo vienetai. Praktinėse situacijose mokoma(si) įvertinti realių objektų dydžius. Matavimo vienetai stambinami ir smulkinami, įskaitant ir atvejus, kai dydžių skaitinės reikšmės yra dešimtainiai skaičiai.

28.3.2

Konstravimas, transformacijos

pakeistaNenagrinėjamos posūkio ir postūmio transformacijos, apsiribojama simetrija.

Apibrėžiamos transformacijos: simetrija tiesės atžvilgiu (atspindys), centrinė simetrija.

28.3.3Figūros

28.3.3.1

Plokštumos figūros

Susipažįstama su kampų matavimo vienetu – laipsniu (°) ir kampų matavimo įrankiu – matlankiu. Mokoma(si) vizualiai atpažinti smailųjį, statųjį, bukąjį, ištiestinį ir pilnąjį kampus; smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Apibrėžiama, kokie kampai vadinami gretutiniais, kryžminiais, mokoma(si) pagrįsti ir taikyti jų savybes. Formuluojama ir pagrindžiama hipotezė apie trikampio ir keturkampio kampų sumą. Paaiškinama, kad teiginį galima pagrįsti įvairiai ir kad ne kiekvieną teiginio pagrindimą galima laikyti matematiniu įrodymu. Šiam teiginiui iliustruoti galima pateikti ir aptarti kelis kurios nors nagrinėtos figūros savybės pagrindimo būdus. Tyrinėjant trikampių, stačiakampių pavyzdžius, parodoma, kaip, perdėliojant stačiakampio dalis, gali būti gaunamos kitos figūros ir apibūdinamos tokios figūros, kaip lygiagretainis, trapecija, lygiašonė trapecija, rombas.

28.3.3.2

Erdvės figūros

Mokoma(si) pavaizduoti kubą ir stačiakampį gretasienį, taip pat suprojektuoti jų išklotines, atitinkančias nurodytus šių figūrų matmenis.

28.3.3.3

Perimetro, ploto, tūrio skaičiavimai

Aptariamos ir taikomos kvadrato ir stačiakampio perimetro ir ploto formulės. Mokoma(si) apskaičiuoti stačiojo trikampio plotą kaip pusę stačiakampio ploto. Sprendžiami sudėtingesni ploto apskaičiavimo uždaviniai, kai plokštumos figūra sudaryta iš kelių žinomų figūrų (stačiojo trikampio, kvadrato, stačiakampio), įskaitant ir tokius, kai derinamos perimetro ir ploto sąvokos. Pagrindžiamos ir taikomos kubo ir stačiakampio gretasienio tūrio formulės. Iš kubų, stačiakampių gretasienių konstruojamos sudėtingesnės figūros. Sprendžiami jų paviršiaus ploto, tūrio apskaičiavimo uždaviniai.

28.4Duomenys ir tikimybės

28.4.1

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaIšbrauktos sąvokos populiacija, imtis, imties vidurkis. Tekstas patikslintas.

Mokoma(si) kelti statistinius klausimus apie artimą aplinką, į kuriuos atsakyti galima, surinkus kokybinius ir kiekybinius duomenis. Aiškinamasi, kokie galėtų būti apklausos ar anketos klausimai, aptariami du klausimų tipai (atviri ir uždari). Išsiaiškinama, kuomet galima apskaičiuoti duomenų vidurkį ir kokia gautos skaitinės reikšmės prasmė. Mokoma(si) interpretuoti dažnių lenteles ir diagramas, atsakyti į su duomenimis susijusius klausimus.

28.4.2

Tikimybės ir jų interpretavimas

Nagrinėjami kasdienių atsitiktinių įvykių, paprasčiausių bandymų (stochastinių bandymų) pavyzdžiai (pavyzdžiui, metama moneta ir stebima, kuria puse ji atvirs, traukiami rutuliai, vyksta finalinės varžybos ir stebima, kuri komanda laimės ir pan.). Dėmesys sutelkiamas į visas jų galimas baigtis, turint galvoje tiek bandymus su vienodai galimomis baigtimis, tiek su nevienodai galimomis baigtimis. Baigtys koduojamos, sudaroma baigčių aibė, svarstoma apie baigčių tikėtinumą (kuri mažai tikėtina ar labai tikėtina). Apibrėžiama įvykio tikimybės (Pįvykio=mn) sąvoka; vienodai galimų baigčių atveju mokoma(si) ją taikyti, kai n neviršija 10.

20 priedas · 29 punktas

6 klasė

12temos5pakeista

Ko nebeliko

  • Figūrų panašumas ir panašumo koeficientas (perkelta į 9 klasę)
  • Objekto didinimas ir mažinimas koordinačių plokštumoje

29.1Skaičiai ir skaičiavimai

29.1.1Natūralieji ir sveikieji skaičiai

29.1.1.1

Sveikieji skaičiai

Apibrėžiamos sąvokos: neigiamieji sveikieji skaičiai, teigiamieji sveikieji skaičiai, skaičiui priešingas skaičius; sveikųjų skaičių aibė. Aptariamas sveikųjų skaičių žymėjimas skaičių tiesėje, mokoma(si) užrašyti skaičiui priešingą skaičių. Mokant(is) palyginti sveikuosius skaičius, pasitelkiamas skaičių tiesės modelis. Apibrėžiama koordinačių plokštuma ir mokoma(si) sveikųjų skaičių poras joje pavaizduoti taškais ir atvirkščiai. Įvedama koordinatinio ketvirčio sąvoka; atkreipiamas dėmesys, kad koordinačių ašys nepriklauso ketvirčiams. Paaiškinama, kad koordinačių metodas – tai procedūra, kurios metu objekto vieta tiesėje arba koordinačių plokštumoje nusakoma skaičiumi ar jų pora. Nagrinėjami šio metodo taikymo realiame gyvenime pavyzdžiai (pavyzdžiui, objekto vietos nustatymas pagal jo koordinates).

29.1.1.2

Veiksmai su sveikaisiais skaičiais

Pateikiamos ir aptariamos veiksmų (sudėties, atimties, daugybos ir dalybos) su sveikaisiais skaičiais vizualizacijos. Pagrindžiant atliekamus veiksmus su sveikaisiais skaičiais, remiamasi algebrinės skaičių sumos samprata. Įsitikinama, kad veiksmams su sveikaisiais skaičiais atlikti tinka ir natūraliesiems skaičiams taikyti skaičiavimo dėsniai (perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo, su nuliu ir vienetu). Praktikuojamasi juos taikyti, atliekant paprastus skaičiavimus su sveikaisiais skaičiais mintinai. Sprendžiami įvairaus turinio nesudėtingi uždaviniai su sveikaisiais skaičiais.

29.1.2Racionalieji skaičiai

29.1.2.1

Trupmenos

pakeistaĮterpti skaičiaus visumos radimo uždaviniai, atkelti iš 5 klasės.

Apibrėžiamos sąvokos: teigiamasis skaičius, neigiamasis skaičius, racionalusis skaičius, skaičiui atvirkštinis skaičius. Įsitikinama, kad kiekvieną trupmeną mn (m∈Z, n∈ N) galima užrašyti baigtiniu ar begaliniu periodiniu dešimtainiu skaičiumi. Mokoma(si) racionaliuosius skaičius palyginti, dešimtainius skaičius suapvalinti nurodytu tikslumu. Mokoma(si) spręsti skaičiaus (dydžio) visumos radimo uždavinius, kai yra nurodyta skaičiaus (dydžio) dalis ir tą dalį atitinkanti trupmena ar procentai.

29.1.2.2

Veiksmai su racionaliaisiais skaičiais

Vizualizuojami ir pagrindžiami daugybos, dalybos veiksmai su racionaliaisiais skaičiais. Įsitikinama, kad racionaliesiems skaičiams tinka tie patys dėsniai kaip ir natūraliesiems bei sveikiesiems skaičiams: a+b+c=a+(b c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=(-a)+a=0, (a∙b)⋅c=a⋅(b⋅c), a⋅b=b∙a, a⋅1=1⋅a=a, a∙1a= 1a⋅a=1, kai a≠0, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c. Veiksmai su racionaliaisiais skaičiais ir jų savybės taikomi, sprendžiant įvairaus konteksto uždavinius.

29.1.3

Finansiniai skaičiavimai

Mokomasi procento sąvoką taikyti, sprendžiant uždavinius apie pirkimą, pardavimą, nuolaidas (skaičiuotuvu nesinaudojama).

29.2Modeliai ir sąryšiai

29.2.1Algebra

29.2.1.1

Raidiniai reiškiniai

pakeistaRaidinių reiškinių tema atkelta iš 5 klasės.

Apibendrinant nagrinėtus konkrečius pavyzdžius, suformuluojami, užrašomi raidėmis ir taikomi sudėties ir daugybos perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo dėsniai (veiksmų savybės), dėsniai su nuliu ir vienetu. Apibrėžiama panašiųjų narių sąvoka. Pagrindžiamos ir taikomos panašiųjų narių sutraukimo, reiškinio prastinimo procedūros. Mokoma(si) sudaryti ir pertvarkyti paprastus raidinius reiškinius, kai tenka atlikti veiksmus su natūraliaisiais skaičiais.

29.2.1.2

Lygtys

Sprendžiamos 1–4 žingsnių pirmojo laipsnio lygtys su vienu nežinomuoju (lygtyje gali būti ir skliaustų; sprendžiant lygtį, gali būti atliekami veiksmai ir su trupmenomis). Mokoma(si) sudaryti lygtis iš uždavinio sąlygos ar schemos ir tuo atveju, kai nežinomasis sąlygoje nenurodytas.

29.2.2Tiesiniai ir netiesiniai sąryšiai

29.2.2.1

Tiesioginis proporcingumas

Nagrinėjamas tiesioginio proporcingumo sąryšis, mokoma(si) jį aprašyti (įvesties ir (ar) išvesties; I ir (ar) O) lentelėmis, skaičių poromis ir pažymėti taškais koordinačių plokštumoje. Susipažįstama su grafiko sąvoka, formuojami grafiko skaitymo ir braižymo įgūdžiai. Nagrinėjami kasdieniame gyvenime pasitaikantys dydžiai, kuriuos sieja tiesioginis proporcingumas. Apibrėžiamos santykio, proporcijos sąvokos; pagrindžiama ir, sprendžiant uždavinius, taikoma pagrindinė proporcijos savybė ir jos išvados.

29.3Geometrija ir matavimai

29.3.1

Braižymas

pakeistaAtsisakyta temų, susijusių su didinimu ir mažinimu. Liko braižymas skriestuvu ir liniuote.

Skriestuvu ir liniuote mokoma(si) atidėti atkarpai lygią atkarpą, nubraižyti kampui lygų kampą, trikampiui lygų trikampį. Braižant trikampiui lygų trikampį, įsitikinama, kad užduotis atliekama ir turint tik tris tam tikrus trikampio elementus. Apibendrinant pavienius lygių trikampių brėžimo atvejus, suformuluojama taisyklė apie trikampio egzistavimą, suformuluojami trikampių lygumo požymiai, paprasčiausiais atvejais mokoma(si) juos taikyti.

29.3.2

Figūros

pakeistaPanašumas perkeltas į 9 klasę. Liko mastelis ir keturkampio kampų suma.

Plokštumos figūros. Apibrėžiama ir taikoma mastelio sąvoka. Įsitikinama (matuojant) ir įrodoma (keturkampį jo įstrižaine padalijant į du trikampius), kad keturkampio kampų didumų suma yra lygi 360 laipsnių.

29.4Duomenys ir tikimybės

29.4.1

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaTekstas patikslintas, esmė nesikeičia.

Nagrinėjami duomenų rinkiniai pagal du požymius. Mokoma(si) sudaryti dažnių lenteles, braižyti ir interpretuoti dvigubas stulpelines ir linijines diagramas, atsakyti į su duomenimis susijusius klausimus. Praktikuojamasi rūšiuoti duomenis pagal pasirinktą požymį. Išsiaiškinama, ką vadiname duomenų moda, mediana. Mokoma(si) apskaičiuoti duomenų vidurkį, modą ir medianą iš duomenų (dažnių) lentelės ar stulpelinės diagramos, aptariama, kuo svarbi kiekviena šių charakteristikų, kaip jos viena kitą papildo. Braižant diagramas ir sudarant dažnių lenteles, apskaičiuojant skaitines charakteristikas, pasitelkiamos ir skaitmeninės technologijos.

29.4.2

Tikimybės ir jų interpretavimas

Apibrėžiama įvykio sąvoka (galimų baigčių rinkinys). Nagrinėjami vieno, dviejų etapų bandymai (stochastiniai bandymai) ir su jais susiję nesutaikomi įvykiai. Sudarant baigčių su dviem elementais rinkinius, braižomi galimybių medžiai ir sudaromos galimybių lentelės. Taip pat aptariama, kaip galima apskaičiuoti dviejų etapų bandymų baigčių skaičių, taikant daugybos taisyklę. Apibrėžiami įvykiai: elementarusis, būtinasis, negalimasis. Mokoma(si) taikyti formulę Pįvykio=mn. Aptariama, kodėl įvykio tikimybė visuomet yra skaičius iš intervalo [0; 1]. Mokoma(si) formuluoti įvykiui priešingą įvykį, pagrindžiamas įvykio ir jam priešingo įvykio tikimybių sąryšis. Kuriamos ir aptariamos žaidimo taisyklės, numatančios tą pačią laimėjimo tikimybę kiekvienam žaidėjui. Diskutuojama, kaip statistika gali padėti apskaičiuoti apytikrį įvykio tikėtinumą.

20 priedas · 30 punktas

7 klasė

9temos5pakeista

Ko nebeliko

  • Biudžetas, palūkanos, paskolos ir kitas finansinis raštingumas, liko tik procentai
  • Transformacijų temos
  • Nelygybių sistemos ir dvigubos nelygybės (perkelta į 8 klasę)

30.1Skaičiai ir skaičiavimai

30.1.1

Realieji skaičiai

Laipsnis su sveikuoju rodikliu. Apibrėžiamas laipsnis su natūraliuoju rodikliu. Pagrindžiami ir taikomi laipsnių su vienodais pagrindais ir laipsnių su skirtingais pagrindais, bet tokiais pačiais rodikliais daugybos ir dalybos, taip pat laipsnio kėlimo laipsniu veiksmai. Apibrėžiama laipsnio su sveikuoju neigiamuoju rodikliu sąvoka. Pagrindžiama, kad laipsniams su sveikaisiais neigiamaisiais rodikliais būdingos tos pačios savybės kaip ir laipsniams su sveikaisiais teigiamaisiais rodikliais. Paaiškinama, kad a0=1, kai a nelygu 0. Aptariama veiksmų atlikimo tvarka reiškinyje, kai jame yra ir laipsnių. Nagrinėjamos realaus pasaulio situacijos, kai skaičiai užrašyti standartine skaičiaus išraiška a∙10k, kai 1≤a<10; k yra sveikasis skaičius. Mokoma(si) skaičius užrašyti tokiu pavidalu, juos perskaityti, palyginti. (Plačiau standartinio skaičiaus sąvoka taikoma fizikos pamokose.)

30.1.2

Finansiniai skaičiavimai

pakeistaPalikti tik procentai. Išbraukta viskas apie biudžetą, palūkanas, paskolas ir kredito pasirinkimą.

Mokoma(si) spręsti uždavinius, kai skaičius ar dydis kelis kartus tam tikru procentų skaičiumi padidinamas arba sumažinamas.

30.2Modeliai ir sąryšiai

30.2.1

Algebra

pakeistaNelygybių sistemos ir dvigubos nelygybės perkeltos į 8 klasę.

Nelygybės. Įsitikinama, kad skaitinėms nelygybėms būdingos savybės: jeigu a>b ir b>c, tai a>c; jeigu a>b, tai b<a; jeigu a>b, tai -a<-b; jeigu a>b, tai a±c>b±c; jeigu a>b ir c>0, tai a⋅c>b⋅c; jeigu a>b ir c<0, tai a⋅c<b⋅c; jeigu a>b ir c>0, tai a :c>b :c; jeigu a>b ir c<0, tai a :c<b :c. Apibrėžiamos sąvokos: nelygybė su vienu nežinomuoju, nelygybės sprendinys, nelygybės sprendinių aibė, griežta nelygybė, negriežta nelygybė; išsiaiškinama ženklų ≤, ≥ prasmė. Nelygybių su vienu nežinomuoju sprendimo algoritmas pagrindžiamas skaitinių nelygybių savybių taikymu. Mokoma(si) taisyklingai užrašyti nelygybės sprendimą, pavaizduoti gautus sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti juos intervalu. Sprendžiami uždaviniai, kai prašoma atrinkti tam tikras sąlygas tenkinančius nelygybių sprendinius.

30.2.2

Tiesiniai ir netiesiniai sąryšiai

Atvirkštinis proporcingumas. Nagrinėjamos įvesties ir (ar) išvesties (I ir (ar) O) lentelės, kuriomis išreikštas atvirkštinio proporcingumo sąryšis; mokoma(si) tokias lenteles sudaryti ir susieti su uždavinio sąlyga (pavyzdžiui, greitis ir laikas, esant pastoviam keliui; stačiakampio ilgis ir plotis, esant pastoviam plotui ir pan.). Taip pat mokoma(si) tokių lentelių duomenis užrašyti skaičių poromis ir pažymėti taškais koordinačių plokštumoje. Formuojami grafiko skaitymo ir braižymo įgūdžiai. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, kuriuose remiamasi samprata apie tiesioginį ir atvirkštinį proporcingumą.

30.3Geometrija ir matavimai

30.3.1

Braižymas

pakeistaTransformacijų temos praleidžiamos, liko tik braižymas.

Fizinėmis ir skaitmeninėmis priemonėmis mokoma(si) rasti atkarpos vidurio tašką, nubrėžti duotai tiesei statmeną tiesę (kai ji eina per nurodytą tašką tiesėje ar šalia jos), padalyti kampą pusiau, pavaizduoti brėžinyje atstumą tarp dviejų taškų, tarp taško ir tiesės, tarp lygiagrečiųjų tiesių. Mokoma(si) brėžinyje atpažinti ar nubrėžti šiuos figūrų elementus: trikampio pusiaukampines, pusiaukraštines, aukštines; lygiagretainio aukštines; trapecijos aukštinę, pagrindus ir šonines kraštines.

30.3.2Figūros

30.3.2.1

Plokštumos figūros

pakeistaSmulkus patikslinimas, viskas lieka kaip buvo.

Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kas yra vadinama apibrėžtimi, teorema, hipoteze, išvada. Nagrinėjami sąlyginių teiginių „jei, tai“ pavyzdžiai, aiškinamasi, kuo teiginio sąlyga skiriasi nuo teiginio išvados. Mokoma(si) formuluoti sąlyginiam teiginiui atvirkštinį teiginį. Nagrinėjant konkrečius atvejus, įsitikinama, kad ne kiekvienas atvirkštinis teiginys yra teisingas. Apibrėžiama lygiagrečių tiesių sąvoka. Nagrinėjami kampai, kurie gaunami dvi lygiagrečias tieses perkirtus trečiąja tiese: atitinkamieji, vidaus priešiniai, vidaus vienašaliai. Aptariami lygiagrečiųjų tiesių požymiai, sprendžiami uždaviniai, susiję su tiesių lygiagretumu. Apibrėžiama, kokie keturkampiai vadinami kvadratais, stačiakampiais, lygiagretainiais, rombais, trapecijomis. Tyrinėjant konkrečius keturkampių pavyzdžius, pastebima, kad skirtingų tipų keturkampiai gali turėti bendrų ir tik jiems būdingų savybių. Aptariamos ir taikomos lygiagretainio, rombo, stačiakampio ir kvadrato savybės, kartu pastebint, kuri figūra yra bendresnės figūrų grupės dalis. Aiškinamasi, ką reiškia klasifikuoti figūras, prisimenamos trikampių rūšys (pagal kampus ir kraštines), klasifikuojami keturkampiai (pagal lygiagrečių kraštinių porų skaičių). Aptariamos trapecijų rūšys. Žinios apie nagrinėtas plokštumos figūras taikomos, sprendžiant paprastus matematinio ir realaus konteksto uždavinius.

30.3.2.2

Erdvės figūros

Nagrinėjant modelius ir brėžinius, mokoma(si) atpažinti stačiąją ar taisyklingąją prizmę, jos aukštinę; taisyklingąją piramidę, jos aukštinę ir apotemą; ritinio aukštinę; kūgio aukštinę ir sudaromąją.

30.3.2.3

Ilgio, ploto, tūrio skaičiavimai

Mokoma(si) apskaičiuoti trikampio, lygiagretainio, trapecijos plotą kaip stačiakampio ar kvadrato ploto dalį. Pagrindžiamos šių figūrų plotų formulės. Tyrinėjant nustatoma, kad apskritimo ilgio ir apskritimo skersmens ilgio santykis apytiksliai lygus 3,14 (įvedamas skaičius π). Aiškinama(si), kaip apskaičiuoti apskritimo ilgį, skritulio plotą, kai yra žinomas jo spindulio ilgis. Sprendžiami skritulio dalies ploto, apskritimo lanko dalies ilgio radimo uždaviniai, pavyzdžiui, ieškoma 14 skritulio ploto. Pagrindžiamos ritinio ir kūgio paviršiaus ploto apskaičiavimo formulės. Sprendžiami ritinio, kūgio paviršiaus ploto apskaičiavimo uždaviniai. Mokoma(si) paprastose situacijose taikyti stačiosios prizmės, ritinio, kūgio ir piramidės tūrio formules (šios formulės pateikiamos be įrodymų).

30.4Duomenys ir tikimybės

30.4

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaSąvoka „atranka“ pakeista į „ėmimas“. Formuluotės patikslintos.

Apibrėžiamos sąvokos: populiacija ir imtis, imties dydis, reprezentatyvioji imtis, atsitiktinumas. Paaiškinama, kas yra atsitiktinis imties elementų ėmimas (atsitiktinė atranka), kaip galima organizuoti atsitiktinį imties elementų ėmimą (atsitiktinę atranką). Susipažįstama su įvairiais imčių sudarymo būdais: sistemine atranka, sluoksnine atranka, lizdine atranka; nagrinėjami pavyzdžiai. Mokoma(si) duomenis pateikti skrituline diagrama ir spręsti uždavinius, kai duomenys pateikiami šios rūšies diagramomis.

20 priedas · 31 punktas

8 klasė

12temos5pakeista

Ko nebeliko

  • Finansiniai skaičiavimai, visas punktas (valiutų kursai, sudėtiniai procentai, kreditai)
  • Tiesinis sąryšis su įvesties ir išvesties lentelėmis
  • Braižymas ir objektų projektavimas

31.1Skaičiai ir skaičiavimai

31.1.1

Kvadratinė ir kubinė šaknys

Apibrėžiamos sąvokos: kvadratinė šaknis, kubinė šaknis. Mokoma(si) apskaičiuoti kvadratinių ir kubinių šaknų reikšmes, kai pošaknyje yra racionaliųjų skaičių kvadratai, kubai. Mokoma(si) rasti kvadratinės ir kubinės šaknies apytikslę reikšmę, įvertinti skaitinio reiškinio, kuriame yra kvadratinė arba kubinė šaknis, reikšmę. Sprendžiami uždaviniai, kai be skaičiuotuvo reikia įvertinti, tarp kokių sveikųjų skaičių yra nurodytoji šaknis (pavyzdžiui, rasti tokį sveikąjį skaičių a, su kuriuo teisinga nelygybė a<111<a+1). Praktikuojamasi įkelti teigiamą skaičių į pošaknį ir iškelti jį prieš šaknies ženklą, taip pat sudauginti to paties laipsnio šaknis ar jas padalyti.

31.1.2

Skaičių aibės

Apibrėžiama, kokie skaičiai vadinami racionaliaisiais, iracionaliaisiais, realiaisiais. Aptariamos sąvokos: skaičių aibė, baigtinė aibė, begalinė aibė, aibės poaibis. Nustatomi ryšiai tarp skaičių aibių N, Z, Q,I, R. Mokoma(si) pagrįsti ir užrašyti, kuriai skaičių aibei priklauso ar nepriklauso įvairūs skaičiai (pavyzdžiui, 5∈N). Mokoma(si) skaičių aibes pavaizduoti simboliais, schemomis, užrašyti, naudojantis aibių teorijos simboliais, intervalais, nelygybėmis, reiškiniais (pavyzdžiui, mokoma(si) reiškiniu užrašyti lyginių, nelyginių natūraliųjų skaičių aibes).

31.1.3

Veiksmai su realiaisiais skaičiais

Aptariama veiksmų su realiaisiais skaičiais atlikimo tvarka. Mokoma(si) apskaičiuoti, palyginti, įvertinti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes. Atliekant veiksmus su realiaisiais skaičiais, pirmenybė teikiama mintinio skaičiavimo strategijų taikymui. Kai skaičiai nėra patogūs skaičiuoti, pasitelkiamas skaičiuotuvas.

31.2Modeliai ir sąryšiai. Algebra

31.2.1

Raidiniai reiškiniai

Apibrėžiamos vienanario, dvinario, trinario, daugianario sąvokos. Aiškinama(si), kaip sudauginti du raidinius reiškinius. Išvedamos ir taikomos greitosios daugybos formulės (kubų formulės nenagrinėjamos). Mokoma(si) paprastais atvejais iš kvadratinio trinario išskirti dvinario kvadratą. Daugianariai skaidomi dauginamaisiais (iškėlimas prieš skliaustus, greitosios daugybos formulių taikymas, grupavimas).

31.2.2

Kvadratinės lygtys

pakeistaPapildyta nepilnomis kvadratinėmis lygtimis, atkeltomis iš 9 klasės.

Apibrėžiamos sąvokos: antrojo laipsnio (kvadratinė) lygtis su vienu nežinomuoju ir jos sprendinys. Mokoma(si) spręsti nepilnas kvadratines lygtis ax2+bx=0, reiškinį ax2+bx skaidant tiesiniais dauginamaisiais, ir ax2+c=0, reiškinį ax2+c skaidant tiesiniais dauginamaisiais, bei lygčiai suteikiant pavidalą x2=d. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, sudarant nepilnas kvadratines lygtis.

31.2.3

Lygčių sistemos

pakeistaAtsisakyta žodinių uždavinių, sprendžiamų sudarant lygčių sistemą.

Apibrėžiamos sąvokos: lygtis su dviem nežinomaisiais, lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys (skaičių pora), praktikuojamasi vieną nežinomąjį išreikšti kitu. Mokoma(si) tiesinės lygties ax+by=c sprendinius pavaizduoti grafiškai (taikant ir skaitmenines priemones). Apibrėžiamos sąvokos: tiesinių lygčių sistema, tiesinių lygčių sistemos sprendinys. Mokoma(si) spręsti tiesinių lygčių sistemas grafiniu, keitimo, sudėties, sulyginimo būdais, tyrinėjama, kiek sprendinių gali turėti tokia sistema.

31.2.4

Nelygybių sistemos

pakeistaNelygybių sistemos ir dvigubos nelygybės atkeltos iš 7 klasės.

Apibrėžiamos sąvokos: dviejų pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistema ir jos sprendinys, dviguboji nelygybė ir jos sprendinys. Mokoma(si) spręsti dviejų pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistemas ax+b⋛0cx+d⋛0 bei dvigubąsias nelygybes c<(≤)ax+b<(≤)d (čia c<d).

31.3Geometrija ir matavimai

31.3.1

Konstravimas, transformacijos

Apibrėžiama vektoriaus (kryptinės atkarpos) sąvoka. Mokoma(si) atpažinti lygius, priešinguosius vektorius, rasti vektorių sumą, skirtumą, padauginti vektorių iš skaičiaus. Šie apibrėžimai taikomi, sprendžiant paprastus geometrinius uždavinius (plačiau vektoriaus sąvoka taikoma fizikos pamokose).

31.3.2Figūros

31.3.2.1

Plokštumos figūros

pakeistaAtsisakius panašumo sąvokos 6 klasėje, savybės čia pateikiamos be įrodymo.

Aiškinamasi, kuo matematinis įrodymas skiriasi nuo empirinių pastebėjimų. Pastebima, kad tą patį teiginį galima įrodyti keliais būdais. (Šioms idėjoms iliustruoti labai tinka Pitagoro teorema.) Paaiškinama, kuo tiesioginis įrodymas skiriasi nuo įrodymo prieštaros būdu (pavyzdžiui, prieštaros būdu įrodoma teorema apie taško atžvilgiu simetriškų tiesių lygiagretumą). Įrodomos Pitagoro ir jai atvirkštinė teoremos; mokoma(si) jas taikyti, sprendžiant įvairius uždavinius. Apibrėžiamos sąvokos: trikampio vidurio linija, trapecijos vidurio linija; be įrodymo pateikiamos jų savybės. Tyrinėjamos lygiašonio, lygiakraščio trikampio savybės, mokoma(si) jas pagrįsti. Įrodoma statinio, esančio prieš 30° kampą, savybė. Mokoma(si) taikyti įgytas žinias, sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius.

31.3.2.2

Erdvės figūros

Nagrinėjami pavyzdžiai, kaip Pitagoro teorema taikoma erdvinių figūrų elementams apskaičiuoti. Sprendžiami paprasti stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, sferos paviršiaus ploto ir tūrio skaičiavimo uždaviniai. Naudojantis fizinėmis ir skaitmeninėmis priemonėmis, gaminami erdvinių figūrų modeliai, atliekami kūrybiniai darbai.

31.3.2.3

Ilgio, ploto, tūrio skaičiavimai

Sprendžiami įvairūs matematinio ir praktinio turinio uždaviniai, kai turimos figūrų pažinimo žinios derinamos su kitų sričių žiniomis (pavyzdžiui, Pitagoro teorema taikoma atstumui tarp dviejų taškų koordinačių plokštumoje apskaičiuoti).

31.4Duomenys ir tikimybės

31.4

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaAtsisakyta empirinio tankio sąvokos. Formuluotės patikslintos.

Mokoma(si) duomenis suskirstyti į vienodo ilgio intervalus, apskaičiuoti į intervalus suskirstytų duomenų vidurkį. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariama histogramos sąvoka, paaiškinamas skirtumas nuo stulpelinės diagramos. Apibrėžiami kvartiliai. Mokoma(si) apskaičiuoti duomenų pirmąjį, antrąjį, trečiąjį kvartilius, skaityti ir suprasti stačiakampe diagrama (su „ūsais“) pavaizduotą informaciją. Apibrėžiama išskirties sąvoka. Mokoma(si) interpretuoti rezultatus, kai yra išskirčių. Nagrinėjant praktines situacijas, aptariama, kaip apskaičiuojamas sukauptasis dažnis, sukauptasis santykinis dažnis. Aiškinamasi, kaip sukauptojo dažnio ir sukauptojo santykinio dažnio lentelės duomenys pavaizduojami sukauptojo dažnio ar sukauptojo santykinio dažnio diagrama ir interpretuojami rezultatai.

20 priedas · 32 punktas

9 ir I gimnazijos klasė

10temos6pakeista

Ko nebeliko

  • Dėsningumai: skaičių sekos ir jų aprašymo būdai (perkelta į 11 klasę)
  • Trigonometrinių reiškinių pertvarkymas
  • Koreliacijos koeficiento apskaičiavimo formulės

32.1Modeliai ir sąryšiai

32.1.1

Algebra

pakeistaSkaičių sekų tema išbraukta, ji mokoma 11 klasėje. Liko algebra.

32.1.1.1

Kvadratinės lygtys

pakeistaNepilnųjų kvadratinių lygčių tema perkelta į 8 klasę, čia ji tik pakartojama.

Įrodoma ir taikoma kvadratinės lygties sprendinių formulė. Nagrinėjamos diskriminanto reikšmės sąsajos su kvadratinės lygties sprendinių skaičiumi. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, sudarant kvadratines lygtis.

32.1.1.2

Raidiniai reiškiniai

pakeistaApribotas trupmeninių reiškinių sudėtingumas, galimi ne daugiau kaip trys veiksmai.

Apibrėžiama kvadratinio trinario sąvoka, įrodoma jo skaidymo dauginamaisiais formulė; ji taikoma, sprendžiant uždavinius. Apibrėžiama trupmeninio racionaliojo reiškinio sąvoka, aptariama jo apibrėžimo sritis. Mokoma(si) pritaikyti žinomus sudėties ir daugybos dėsnius, veiksmų su laipsniais ir trupmenomis savybes, pertvarkant, prastinant nesudėtingus trupmeninius racionaliuosius reiškinius, kai atliekami aritmetiniai veiksmai ne daugiau kaip su trimis racionaliaisiais trupmeniniais reiškiniais.

32.1.1.3

Lygčių sistemos

Mokoma(si) dviejų lygčių sistemas (su dviem nežinomaisiais), kurių viena lygtis yra pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio, spręsti grafiniu ir keitimo būdais. Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio situacijos, kurios gali būti modeliuojamos lygčių sistemomis.

32.1.2Tiesiniai ir netiesiniai sąryšiai

32.1.2.1

Funkcijos samprata

Apibrėžiamos sąvokos: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos grafikas. Mokoma(si) funkciją apibūdinti žodžiais, lentele, grafiku, formule (naudojantis ir skaitmeninėmis priemonėmis), apskaičiuoti ir (ar) nustatyti funkcijos reikšmes, kai yra žinoma funkcijos argumento reikšmė, ir atvirkščiai. Mokoma(si) nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus; intervalus, kuriuose funkcija įgyja teigiamas ir neigiamas reikšmes; yra didėjančioji, mažėjančioji ar pastovioji.

32.1.2.2

Tiesinė ir kvadratinė funkcijos

Sprendžiami uždaviniai, kai realaus gyvenimo situacijoms tyrinėti ir modeliuoti – eksperimento duomenims aprašyti – taikomos (pasitelkiamos) funkcijos. Išnagrinėjus tiesinės funkcijos modeliu aprašomus eksperimento duomenis, yra apibrėžiama tiesinė funkcija y=kx+b, tiesės krypties koeficientas k, postūmio koeficientas b. Braižant konkrečių tiesinių funkcijų grafikų eskizus (tieses), tyrinėjama, kaip tiesės padėtis priklauso nuo šių koeficientų reikšmių. Išnagrinėjus kvadratine funkcija aprašomus eksperimento duomenis, įvedama kvadratinės funkcijos y=ax2+bx+c, kai a≠0, sąvoka, braižomi jos grafiko (parabolės) eskizai. Tyrinėjama, kaip parabolės forma ir padėtis priklauso nuo a ir D=b2-4ac reikšmių. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip, taikant transformacijas, iš funkcijos y=x grafiko gauti funkcijos y=kx+b grafiką, o iš funkcijos y=x2 grafiko gauti funkcijos y=ax-m2+n grafiką. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose įvairios realaus pasaulio situacijos yra modeliuojamos funkcijomis: y=kx+b, y=ax2+bx+c, y=ax-m2+n, y=ax-x1x-x2.

32.2Geometrija ir matavimai. Figūros

32.2.1

Transformacijos

pakeistaFigūrų panašumas atkeltas iš 6 klasės.

Pateikiama panašiųjų geometrinių figūrų samprata. Aiškinama(si), kokie panašiųjų figūrų elementai vadinami atitinkamais, mokoma(si) juos atpažinti. Tyrinėjant panašiuosius trikampius, įsitikinama, kad jų atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamų kraštinių ilgių santykiai yra lygūs tam pačiam skaičiui (šis skaičius vadinamas trikampių panašumo koeficientu). Apibrėžiami panašieji daugiakampiai, jų panašumo koeficientas. Suformuluojami trikampių panašumo požymiai. Mokoma(si) rasti panašiųjų trikampių, panašiųjų keturkampių nežinomų kraštinių ilgius, sudarant proporcijas.

32.2.2

Plokštumos figūros

Apibrėžiami centrinis ir įbrėžtinis kampai. Nagrinėjama centrinio ir įbrėžtinio kampo, kurie kerta tą patį lanką, savybė. Apibrėžiamos sąvokos: apskritimo liestinė, kirstinė, styga; skritulio išpjova, nuopjova. Paaiškinama, kad apskritimo lankas matuojamas ne tik ilgio matavimo vienetais, bet ir laipsniais. Aptariamos ir taikomos savybės: liestinės statmenumo spinduliui, susikertančiųjų liestinių atkarpų iki lietimosi su apskritimu taškų, susikertančiųjų stygų. Mokoma(si) remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais, sprendžiant įvairius matematinio ir realaus konteksto uždavinius, įrodinėjant kitus teiginius.

32.2.3

Įvadas į trigonometriją

pakeistaNereikia pertvarkyti trigonometrinių reiškinių. Užtenka apskaičiuoti vieną reikšmę, kai kita žinoma.

Apibrėžiami sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje. Apskaičiuojant panašiųjų trikampių atitinkamų kraštinių ilgių santykius, įsitikinama, kad jų reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Įrodomos lygybės sin²α + cos²α = 1, tg α= sinαcosα ir jos taikomos, ieškant smailiojo kampo sinuso, kosinuso arba tangento reikšmės, kai žinoma kuri nors kita iš to kampo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmių. Sudaroma kampų 30°, 45°, 60° trigonometrinių reikšmių lentelė. Mokoma(si) naudotis skaičiuotuvu, apskaičiuojant apytiksles smailiojo kampo sinuso, kosinuso, tangento reikšmes. Sprendžiami įvairūs uždaviniai, kai taikomi sinuso, kosinuso, tangento stačiajame trikampyje apibrėžimai (pavyzdžiui, nustatyti objekto aukštį, rasti kelio nuolydį ar lėktuvo pakilimo kampą, apskaičiuoti atstumą iki neprieinamos vietos ir pan.).

32.3Duomenys ir tikimybės

32.3

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaNereikia koreliacijos koeficiento apskaičiavimo formulių.

Nagrinėjamos taškinės (sklaidos) diagramos, vaizduojančios statistinį ryšį tarp dviejų kintamųjų (stebimų požymių) reikšmių. Mokoma(si) iš sklaidos diagramos įvertinti tiesinio ryšio buvimą ar nebuvimą. Aptariama tiesinė koreliacija, iš sklaidos diagramos mokoma(si) įvertinti, ar koreliacija yra teigiama, ar yra neigiama, apytikslį koreliacinio ryšio stiprumą (stiprus, vidutinis, silpnas). Mokoma(si) užrašyti sklaidos diagramoje pavaizduotos tiesės lygtį y=kx+b (naudojantis diagramoje pavaizduotų taškų koordinatėmis), interpretuoti šia lygtimi aprašomą duomenų ryšį.

20 priedas · 33 punktas

10 ir II gimnazijos klasė

8temos2pakeista

Ko nebeliko

  • Fibonačio seka ir aukso pjūvis
  • Kvartilių ir statistinio patikimumo analizė

33.1Modeliai ir sąryšiai

33.1.1

Dėsningumai

pakeistaAtsisakyta Fibonačio sekos ir aukso pjūvio. Liko tik sudėtinių procentų formulė ir proporcingoji dalyba.

Sprendžiami uždaviniai, kai skaičius, dydis padalijamas į dvi nelygias dalis, kuriuos sprendžiant reikia remtis proporcingąja dalyba. Nagrinėjamas aukso pjūvio skaičius Φ=1+52. Sprendžiami su procentais ir dydžių santykiais susiję uždaviniai: džiovinimo ir drėkinimo; sudėtinių procentų; lydinių, mišinių, tirpalų.

33.1.2Algebra

33.1.2.1

Trupmeninės racionaliosios lygtys

Apibrėžiama trupmeninės racionaliosios lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, joms suteikiant pavidalą A(x)Bx=0. Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio ir matematinės situacijos, kurios gali būti modeliuojamos racionaliosiomis lygtimis.

33.1.2.2

Kvadratinės nelygybės

Apibrėžiama kvadratinės nelygybės sąvoka. Mokoma(si) kvadratines nelygybes spręsti algebriniu, t. y. kai pradinė kvadratinė nelygybė keičiama dviejų pirmojo laipsnio nelygybių sistemomis, ir grafiniu būdais. Diskutuojama apie algebrinio ir grafinio būdo taikymo ypatumus, kai šie būdai pasitelkiami kvadratinės funkcijos įvairioms savybėms nagrinėti.

33.1.2.3

Lygčių sistemos

Nagrinėjamos lygčių sistemos (su dviem nežinomaisiais), kurių viena lygtis tiesinė, o kita tiesinė, kvadratinė ar trupmeninė racionalioji. Mokoma(si) įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.

33.2Geometrija ir matavimai

33.2.1Figūros

33.2.1.1

Plokštumos figūros

Nagrinėjant panašiųjų figūrų perimetrus, plotus, nustatomi dėsningumai, jie pagrindžiami ir taikomi, sprendžiant uždavinius. Tyrinėjamos ir pagrindžiamos trikampio pusiaukampinių, pusiaukraštinių savybės. Apibrėžiamos sąvokos: įbrėžtinis daugiakampis, apibrėžtinis daugiakampis. Suformuluojami ir pagrindžiami teiginiai apie į trikampį įbrėžto apskritimo ir apie trikampį apibrėžto apskritimo centrus. Mokoma(si) taikyti formules S=rp, S=abc4R. Mokoma(si) pagrįsti ir taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybes. Mokoma(si) remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais, sprendžiant įvairius matematinio ir realaus konteksto uždavinius, įrodinėjant kitus teiginius.

33.2.1.2

Įvadas į trigonometriją

Apibrėžiamas vienetinis apskritimas ir posūkio kampas, posūkio kampo sinusas, kosinusas, tangentas, kai α∈0°;180°. Išsiaiškinama, kaip apskaičiuojamos 120°, 135°, 150° kampų sinuso ir kosinuso reikšmės. Apibendrinama, kaip apskaičiuojamos bet kokio smailiojo ar bukojo kampo sinuso, kosinuso reikšmės ir įrodomos formulės: sin180°-α=sin(α), cos180°-α=-cos(α). Įrodoma trikampio ploto formulė S= 12ab sin(∠C), kosinusų teorema, sinusų teorema, mokoma(si) jas taikyti nežinomiems trikampio elementams rasti. Pagrindžiamas sinusų teoremos ir apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgio sąryšis. Praktikuojamasi taikyti šias teoremas, sprendžiant trikampių uždavinius.

33.3Duomenys ir tikimybės

33.3.1

Duomenys ir jų interpretavimas

pakeistaFormuluotės sukonkretintos, atsisakyta kvartilių ir statistinio patikimumo.

Aptariamos sąvokos: dispersija, standartinis nuokrypis. Analizuojami skirtingi duomenų rinkiniai, pavaizduoti histogramomis. Svarstoma, kokias išvadas apie duomenis leidžia daryti histograma (atkreipiamas dėmesys į jos simetriškumą ir asimetriškumą), duomenų centro (vidurkio, modos, medianos), sklaidos (dispersijos, standartinio nuokrypio) charakteristikos.

33.3.2

Tikimybės ir jų interpretavimas

Aptariama, kas yra kelių elementų rinkinys, kaip užrašoma tokių rinkinių aibė. Mokoma(si) sudaryti rinkinius, kai elementai imami iš tos pačios aibės ar skirtingų aibių. Nagrinėjami pavyzdžiai, kai elementų tvarka rinkinyje svarbi ir kai nesvarbi. Aiškinama(si), kaip apskaičiuoti rinkinių skaičių, atsižvelgiant į elementų tvarkos rinkinyje svarbą. Aptariama, kada, skaičiuojant rinkinių skaičių, patogu naudotis kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklėmis. Rinkinių sudarymo įgūdžiai taikomi, sprendžiant tikimybių uždavinius. Mokoma(si) įvertinti atsitiktinio įvykio tikimybę, renkant duomenis apie atsitiktinį procesą ir stebint jo ilgalaikį santykinį dažnį bei gautą rezultatą palyginant su teorine šio įvykio tikimybe (pavyzdžiui, šešiasienio kauliuko ridenimas iki 600 kartų ir kauliuko atvirtimo šešiomis akutėmis stebėjimas).

20 priedas · 34 ir 35 punktas

III gimnazijos klasė

42temos8pakeista

Ko nebeliko

  • Tangentas bendrajame kurse (išplėstiniame lieka)
  • Funkcijos ribos išplėstiniame kurse (perkelta į 12 klasę)
  • Lygtys su parametru ir racionaliosios trupmeninės lygtys

Bendrasis kursas

34 punktas

34.1Skaičiai ir skaičiavimai

34.1.1

Skaičių aibės

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

34.1.2

Realiojo skaičiaus modulis

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka, paaiškinama jo geometrinė prasmė. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio savybės: -a=a,|a|² = a², a-b=b-a. Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio: a2=a.

34.1.3

Šaknys

Apibendrinant šaknies sąvoką, pateikiamas n-tojo (n∈N, n>1) laipsnio šaknies apibrėžimas. Išsiaiškinama, pagrindžiama, kaip iracionalieji skaičiai a a∈N atidedami skaičių tiesėje. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę duotojo iracionaliojo skaičiaus na reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo (n∈N, n>3) laipsnio šaknims būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų (ir veiksmų su jomis) savybės: ⁿ√a·ⁿ√b = ⁿ√(ab), ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√(a:b),ᵐ√(ⁿ√a) = ⁿᵐ√a. Mokoma(si) šias savybes taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, skaičių įkeliant po n-tojo laipsnio šaknimi ir iškeliant jį prieš šaknies ženklą. Mokoma(si) trupmenos vardiklyje panaikinti iracionalumą, kai vardiklyje yra iracionalieji skaičiai a, a+b, a-b.

34.1.4

Laipsniai

Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu a^(m/n) (a>0, a≠1, m∈Z, n∈N, n>1) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) teisingumu (keliant abi lygybės puses n-tuoju laipsniu). Mokoma(si) ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais. Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) savybės: aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (a·b)ᵐ = aᵐ·bᵐ, (a : b)ᵐ = aᵐ : bᵐ. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio su racionaliuoju rodikliu dešimtainę apytikslę reikšmę, taikyti laipsnių ir veiksmų su laipsniais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.

34.1.5

Logaritmai

Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus logaritmas, dešimtainis logaritmas. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritmų tapatybė a^(logₐb) = b (a >0, b>0, a≠1). Įrodomos ir pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės: logc(a)+logc(b)=logca∙b, logc(a)-logc(b)=logca :b, k∙logc(a)=logcak (a >0, b>0, c>0, c≠1, k∈Q), paaiškinant, kad šias lygybes galima taikyti ir atbulai. Mokoma(si) šias savybes taikyti, skaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes.

34.1.6

Sinusas, kosinusas

pakeistaAtsisakyta tangento. Anksčiau tema vadinosi „Sinusas, kosinusas ir tangentas“.

Apibrėžiamas posūkio kampas, vienetinis apskritimas. Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamas posūkio kampo sinusas ir kosinusas. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso ir kosinuso reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0º, ±30º, ±45º, ±60º, ±90º, ±120º, ±135º, ±150º, ±180º, ±210º, ±225º, ±240º, ±270º, ±300º, ±315º, ±330º, ±360º. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sinα ir cosα turi prasmę su visomis realiosiomis α reikšmėmis, kodėl sinα ir cosα reikšmės kartojasi kas 360° ir visuomet priklauso intervalui -1;1. Įrodomos formulės: sin-α=-sinα , cos-α=cosα, sinα+360°∙k=sinα, cosα+360°∙k=cos(α), k∈Z, ir mokoma(si) jas taikyti. Apibrėžiami skaičiai arcsin(a) ir arccosa, pagrindžiant, kodėl arcsina∈-90°; 90°, arccosa∈0°; 180°, o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę, kai a∈-1; 1. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso ir arksinuso, arkkosinuso reikšmes.

34.2Modeliai ir sąryšiai

34.2.1

Skaičių sekos. Progresijos

pakeistaSkaičių sekų ir progresijų tema atkelta iš 9 klasės.

Apibrėžiama skaičių seka, skaičių sekos pirmasis narys, n-tasis narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka. Mokoma(si) skaičių sekas nurodyti n-tojo nario formule, rekurentiniu būdu. Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos sąvokos: aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis. Praktikuojamasi nustatyti ir pagrįsti, ar seka yra aritmetinė progresija, geometrinė progresija. Įrodomos ir įvairiems uždaviniams spręsti taikomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulės, pirmųjų n narių sumos formulės: aₙ = a₁ + d(n−1), Sn=a1 + an2∙n=2a1 + dn - 12∙n, bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, Sn=b1 ∙ qn - 1q - 1=bn ∙ q - b1q - 1 (n∈N, q≠1). Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai (pavyzdžiui, Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema).

34.2.2Funkcijos

34.2.2.1

Funkcijos samprata

Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Aptariama funkcijos y=fx (x∈Df) grafiko transformacijos samprata. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos y=fx+a, y=fx+a, y=-fx, y=a⋅fx formulėmis aprašomos transformacijos. Atliekami tiriamieji, kūrybiniai darbai apie funkcijas, jų savybes, transformacijas ir jų pasireiškimą įvairaus konteksto situacijose.

34.2.2.2

Laipsninė ir šaknies funkcijos

Apibrėžiamos ir tiriamos laipsninė funkcija y=fx=xn, kai n∈-1;1;2;3, šaknies funkcijos y=fx=nx, kai n∈2;3. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ir šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

34.2.2.3

Rodiklinė ir logaritminė funkcijos

Apibrėžiama rodiklinė funkcija y=fx=ax (a>0, a≠1), logaritminė funkcija y=fx=loga(x) (a>0, a≠1, x>0). Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

34.2.2.4

Trigonometrinės funkcijos

pakeistaAtsisakyta tangento funkcijos ir tangentoidės.

Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamos bet kokio posūkio kampo (išreikšto laipsniais) sinuso ir kosinuso funkcijos. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės grafikų eskizai. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, rasti nurodytas sąlygas, atitinkančias argumento ir funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, didžiausią funkcijos reikšmę nurodytame intervale). Praktikuojamasi, naudojantis grafiko eskizu, užrašyti visas argumento reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja tam tikrą reikšmę, yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji. Mokoma(si), naudojantis sinuso, kosinuso samprata ir (ar) pasitelkus grafinį metodą, spręsti sin(x)=a, cos(x)=a pavidalo lygtis.

34.2.3Lygtys

34.2.3.1

Racionaliosios lygtys

Apibendrinamos, gilinamos ir plečiamos žinios apie racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Mokoma(si) atpažinti ir spręsti a∙xn+b=0 (a, b – racionalieji skaičiai, n∈2;3;4;5); fx∙gx=0 (fx ir gx – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai) pavidalo lygtis; lygtis, kurios suvedamos į kvadratines lygtis. Praktikuojamasi grafiškai spręsti fx=gx, kai y=fx ir y=gx yra tiesinė funkcija, kvadratinė funkcija, laipsninė funkcija, pavidalo lygtis. Pasitelkus pavyzdžius, aiškinamasi, kad tikslius lygties sprendinius gauname, spręsdami algebriškai, o grafiškai dažniausiai gaunami apytiksliai sprendiniai. Mokoma(si), sprendžiant tekstinius ar geometrijos uždavinius, sudaryti lygtį, ją išspręsti ir atrinkti uždavinio sąlygą atitinkantį atsakymą.

34.2.3.2

Iracionaliosios lygtys

Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti iracionaliąsias b ∙fx +a=0, b∙3fx=a (fx – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianaris, a ir b – racionalieji skaičiai, a≠0) pavidalo lygtis. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos iracionaliosiomis lygtimis.

34.2.3.3

Rodiklinės lygtys

Apibrėžiama rodiklinės lygties sąvoka. Mokoma(si) algebriškai spręsti rodiklines lygtis, suvedant jas į pavidalą: afx=ar (r∈Q ) , afx=agx (fx, gx – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai). Praktikuojamasi rodiklines lygtis spręsti grafiškai. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos rodikline funkcija (pavyzdžiui, fn=k∙an, Sn=S0∙ 1±p100n).

34.2.3.4

Logaritminės lygtys

Apibrėžiama logaritminės lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti logaritmines loga(fx)+b=0, loga(fx)=loga(gx) (fx ir gx – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos logaritminėmis lygtimis.

34.2.3.5

Tekstiniai uždaviniai

Apibendrinamos ir gilinamos žinios algebriškai sprendžiant įvairias dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Mokoma(si) įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.

34.2.4Nelygybės

34.2.4.1

Racionaliosios nelygybės

Nagrinėjant kvadratines nelygybes, atskleidžiama intervalų metodo esmė. Paaiškinama, kad intervalų metodą patogu taikyti, sprendžiant ir kitas nelygybes. Apibrėžiama racionaliosios nelygybės sąvoka. Mokoma(si) spręsti paprastas trupmenines racionaliąsias nelygybes intervalų metodu. Praktikuojamasi spręsti paprastas nelygybių sistemas (su vienu nežinomuoju), kurių viena nelygybė yra tiesinė, o kita – kvadratinė arba trupmeninė racionalioji.

34.2.4.2

Rodiklinės nelygybės

Apibrėžiamos rodiklinės nelygybės. Mokoma(si) spręsti rodiklines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra afx⋛ar r∈Z, afx⋛agx (fx ir gx – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai).

34.2.4.3

Logaritminės nelygybės

Apibrėžiamos logaritminės nelygybės. Mokoma(si) spręsti logaritmines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra loga(x)⋛b, loga(fx)⋛loga(gx) (fx ir gx – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Išplėstinis kursas

35 punktas

35.1Skaičiai ir skaičiavimai

35.1.1

Skaičių aibės

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Pateikiami baigtinių ir begalinių; diskrečiųjų ir tolydžiųjų (intervalų) skaičių aibių pavyzdžiai. Mokoma(si) reiškiniu užrašyti natūraliųjų skaičių, kuriuos dalijant iš nurodyto natūraliojo skaičiaus d gaunama nurodyta liekana r, aibę (n∙d+r, n ∈N). Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

35.1.2Realiojo skaičiaus modulis

35.1.2.1

Modulio sąvoka ir savybės

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka ir paaiškinama jo geometrinė prasmė. Braižomas y=x grafiko eskizas. Mokoma(si) užrašyti lygties x=a ir nelygybės x⋚a (a∈R) sprendinių aibes. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės: -a=a, |a|² = a², a-b=b-a, a∙b=a∙b, a :b=a :b. Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių ir raidinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti lyginio laipsnio šaknį iš lyginio laipsnio: a2=a ir 2na2n=a, kai n∈N.

35.1.3

Laipsniai

pakeistaPatikslinta: reikalingos ir kubų sumos, ir kubų skirtumo formulės.

Įrodomos sumos ir skirtumo kubo, kubų sumos ir kubų skirtumo formulės. Mokoma(si) naudotis šiomis formulėmis, dvinarį keliant trečiuoju laipsniu ir daugianarį skaidant dauginamaisiais. Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu a^(m/n) (a>0, a≠1, m∈Z, n∈N, n>1) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) teisingumu (keliant abi lygybės puses n-tuoju laipsniu). Aiškinamasi, kada (ir kodėl) tokie laipsniai neturi prasmės. Mokoma(si) nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis laipsnis su racionaliuoju rodikliu, palyginti tokius laipsnius. Naudojantis skaičiuotuvu, mokoma(si) rasti apytikslę dešimtainę duotojo laipsnio su racionaliuoju rodikliu reikšmę. Pagrindžiama ir įrodoma, kad laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su tokiais laipsniais) savybės: aᵇ·aᶜ = aᵇ⁺ᶜ, aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ, (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ, (a·b)ᶜ = aᶜ·bᶜ, (a : b)ᶜ = aᶜ : bᶜ. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio reikšmę, taikyti laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes skaitiniams ir raidiniams reiškiniams pertvarkyti.

35.1.4

Šaknys

Įrodoma, kad skaičius 2 yra iracionalusis. Apibendrinama šaknies sąvoka, pateikiant n-tojo (n∈N, n>1) laipsnio šaknies apibrėžimą. Aiškinama(si), kada n-tojo laipsnio šaknys turi prasmę. Mokoma(si), nesinaudojant skaičiuotuvu, nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis iracionalusis skaičius na, palyginti tokio pavidalo skaičius; naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo iracionaliojo skaičiaus na reikšmę. Aiškinama(si), kad n-tojo (n∈N, n>3) laipsnio šaknims ir veiksmams su jomis būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų ir veiksmų su jomis savybės: ⁿ√a·ⁿ√b = ⁿ√(ab), ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√(a:b) (b≠0), ᵐ√(ⁿ√a) = ⁿᵐ√a (n, m ∈N, n>1); 2na2n=a, 2n+1a2n+1=a (n∈N). Mokoma(si) šias savybes pagrįsti, įrodyti ir taikyti skaičiuojant: skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, naikinant šaknis trupmenos vardiklyje (kai vardiklyje yra a, a ±b, a ±b, 3a), pertvarkant raidinius reiškinius su šaknimis.

35.1.5

Logaritmai

Apibrėžiama skaičiaus logaritmo sąvoka. Įvedamas iracionalusis skaičius e. Apibrėžiama dešimtainio ir natūraliojo logaritmo sąvoka. Aptariama, kokioms skaičių aibėms priklauso su log ženklu rašomi skaičiai. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritminė tapatybė a^(logₐb) = b, (a >0, b >0, a ≠1). Pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės: logc(a)+logc(b)=logca∙b, logc(a)-logc(b)=logca :b, d∙logc(a)=logcad, logc(a)logc(b)=logb(a), 1t∙logba=log(bt)a (a >0, b>0, c>0, c≠1, t≠0). Mokoma(si) šias savybes įrodyti ir taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes bei pertvarkant raidinius logaritminius reiškinius.

35.1.6

Sinusas, kosinusas ir tangentas

Apibrėžiamas vienetinis apskritimas, posūkio kampas, tangentų tiesė beį posūkio kampo sinusas, kosinusas ir tangentas. Aiškinama(si), kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokoma(si) laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu bei tangentų tiese, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330, 360. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin(α) ir cos(α) turi prasmę su visoms α realiosioms reikšmėms, kodėl sin(α) ir cos(α) reikšmės kas 360° kartojasi ir visuomet priklauso intervalui -1;1. Aptariama, kodėl tg (α) reikšmės yra intervalo -∞;+∞ skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin-α=-sin(α), cos-α=cos(α), tg-α=-tg(α), sinα+2πk=sin(α), cosα+2πk=cos(α), tgα+πk=tg(α) (k∈Z). Mokoma(si) šias formules taikyti. Apibrėžiami skaičiai arcsin(a) ir arccos(a), pagrindžiant, kodėl arcsin(a)∈-π2; π2, arccos(a)∈0;π ir arksinusas bei arkosinusas turi prasmę, kai a∈-1;1. Apibrėžiami skaičiai arctg(a), pagrindžiant, kodėl arctg(a)∈-π2 ;π2 ir arktangentas turi prasmę, kai a∈R. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles (naudojantis skaičiuotuvu) sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

35.2Modeliai ir sąryšiai

35.2.1

Skaičių sekos. Progresijos

pakeistaSkaičių sekų tema atkelta iš 9 klasės.

Apibrėžiama skaičių seka, skaičių sekos pirmasis narys, n-tasis narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka. Mokoma(si) skaičių sekas nurodyti n-tojo nario formule, rekurentiniu būdu. Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis, aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė, geometrinės progresijos n-tojo nario formulė. Nagrinėjamos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės: aₙ = a₁ + d(n−1), an+1=an + an + 22, Sn=a1 + an2∙n=2a1 + dn-12∙n (n∈N, d≠0); bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, bn+1=bn∙bn+2, Sn=b1 ∙ qn-1q-1=bn ∙ q-b1q-1 (n∈N, q≠1). Įrodomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės (n-tojo nario, viduriniojo nario, pirmųjų n narių sumos). Apibrėžiama, kokios geometrinės progresijos vadinamos nykstamosiomis. Nagrinėjant nykstamąją geometrinę progresiją 12, 14, 18, …, 12n, … (n∈N, n→∞), jos suma 12+14+18+ …=1 pagrindžiama geometriškai. Nagrinėjant begalinę dešimtainę periodinę trupmeną 0,(9), įsitikinama, kad ją galima užrašyti kaip begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą, ir įrodoma, kad 0,9=1. Įrodoma nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė S = b₁/(1−q) ir mokoma(si) ja naudotis, sprendžiant uždavinius. Sprendžiami su aritmetine progresija ir geometrine progresija susiję realaus turinio uždaviniai. Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai: Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema.

35.2.2Funkcijos

35.2.2.1

Funkcijos samprata

pakeistaApsiribojama dviejų transformacijų kompozicija. Atsisakyta funkcijos ribų.

Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka, pateikiama tokių funkcijų pavyzdžių, mokoma(si) iš duotųjų funkcijų sudaryti sudėtines funkcijas. Nagrinėjamos funkcijų grafikų transformacijos ir mokoma(si), naudojantis žinomu funkcijos y=fx grafiku, nubraižyti transformuotos funkcijos grafiką (naudojantis ne daugiau kaip dviejų transformacijų kompozicija). Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos tokiomis formulėmis aprašomos transformacijos: y=fx+a, y=fx+a, y=-fx, y=a⋅fx, y=f-x, y=fa⋅x, y=fx. Mokoma(si) naudotis funkcijų grafikų eskizais, grafiškai sprendžiant lygtis, nelygybes ir dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

35.2.2.2

Laipsninė ir šaknies funkcijos

Tiriamos paprasčiausios natūraliojo laipsnio funkcijos y=fx=xn ( n∈N), aptariant lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus; paprasčiausių neigiamo sveikojo laipsnio funkcijų y=fx=x-n ( n∈1;2;3;4) savybes ir grafikų eskizus. Tiriamos funkcijos y=fx=nx (n∈N, n>1) aptariant lyginio ir nelyginio šaknies laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus. Mokoma(si) užrašyti šaknies funkcijos y=fx=nx (n∈N, n>1) formulę, kai yra žinomos grafikui priklausančio taško, nesutampančio su tašku 1;1, koordinatės. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, nagrinėjama, kaip kinta laipsninės ir šaknies funkcijų grafikai, priklausomai nuo laipsnio rodiklio ir šaknies laipsnio. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines ir logaritmines lygtis ir nelygybes a∙fkx+b+c⋛0 (a, k, b,c∈R, a, k≠0, fx=xn (n∈-4;-3; -2;-1; 1; 2; 3; …), fx=nx (n∈N, n>1)). Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ar šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

35.2.2.3

Rodiklinė ir logaritminė funkcijos

Apibrėžiama rodiklinė funkcija y=fx=ax (a>0, a≠1) logaritminė funkcija y=fx=loga(x) (a>0, a≠1). Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines ir logaritmines lygtis ir nelygybes a∙fkx+b+c⋛0 (a, k, b,c∈R, a, k≠0, fx=dx, fx=logt(x) (t>0, t≠1)). Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

35.2.2.4

Trigonometrinės funkcijos

Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos y=fx=sin(x), y=fx=cos(x), y=fx=tg(x). Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokoma(si) rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale. Rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcija yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji. Mokoma(si) nustatyti funkcijos y=a∙fkx+b+c (a,k, b,c∈R, a,k≠0, fx=sin(x), cos(x), tg(x)) savybes. Mokoma(si) grafiškai spręsti lygtis ir nelygybes a∙fkx+b+c⋛0 (a,k, b,c∈R, a,k≠0, fx=sin(x), cos(x), tg(x).

35.2.3Lygtys

35.2.3.1

Racionaliosios lygtys

pakeistaAtsisakyta lygčių su parametru ir racionaliųjų trupmeninių lygčių.

Nagrinėjamos aukštesnio negu antrojo laipsnio lygtys, kurias galima spręsti, suteikiant pavidalą ax+bcx+d…kx+q=0, t. y. lygties fx=0 reiškinį fx skaidant dauginamaisiais. Sprendžiamos bikvadratinės lygtys.

35.2.3.2

Iracionaliosios lygtys

Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Nagrinėjamos iracionaliosios lygtys, kurioms galima suteikti pavidalą fx=gx, fx=gx+a. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Mokoma(si) spręsti nesudėtingas iracionaliąsias lygtis nfx=a (n=3, 4, …)

35.2.3.3

Rodiklinės lygtys

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą afx=agx (a>0, a≠1). Mokoma(si) spręsti rodiklines lygtis t∙a2x+k∙ax+p=0 (t, k, p∈R), kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

35.2.3.4

Logaritminės lygtys

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo(-ų) reiškinyje(-iuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą loga(fx)=loga(gx). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Nagrinėjamos nesudėtingos logaritminės lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo(-ų) pagrindo reiškinyje(-iuose), logaritmo reiškinyje ir logaritmo pagrindo reiškinyje. Mokoma(si) spręsti logaritmines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

35.2.3.5

Lygtys su moduliais

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą fx=a, fx=gx. Mokoma(si) tokias lygtis spręsti, naudojantis modulio samprata.

35.2.3.6

Lygčių sistemos

Prisimenama, kad lygtyje gali būti ir daugiau negu vienas nežinomasis. Pateikiama tokių lygčių su dviem nežinomaisiais pavyzdžių: ax+by+c=0 (a, b, c∈R) – tiesės lygtis; x-a2+y-b2=r2, – apskritimo lygtis (a, b – apskritimo centro koordinatės, r – apskritimo spindulio ilgis); mokoma(si) rasti ir užrašyti tokios lygties kelis sprendinius bei visų sprendinių aibę. Mokoma(si) spręsti daugiau negu dviejų lygčių su daugiau negu dviem nežinomaisiais sistemas. Nagrinėjami ir sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kuriuos sprendžiant gaunamos tokios sistemos.

35.2.4Nelygybės

35.2.4.1

Racionaliosios nelygybės

pakeistaApsiribojama dviejų nelygybių sistema.

Aiškinama(si) intervalų metodo esmė ir universalumas. Nagrinėjamos antrojo laipsnio, aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės, praktikuojamasi jas spręsti intervalų metodu. Mokoma(si) trupmenines racionaliąsias nelygybes spręsti, suteikiant pavidalą fxgx⋛0, naudojantis intervalų metodu arba nelygybę keičiant nelygybių sistemų visuma. Mokoma(si) spręsti dviejų racionaliųjų nelygybių sistemas bei mišrias lygčių ir nelygybių (su vienu nežinomuoju) sistemas.

35.2.4.2

Rodiklinės nelygybės

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą afx⋛agx, o tada pereinant prie rodiklių nelygybės.

35.2.4.3

Logaritminės nelygybės

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra logaritmo (logaritmų) reiškinyje (reiškiniuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą loga(fx)⋛loga(gx), o tada pereinant prie logaritmų reiškinių nelygybės. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

35.2.4.4

Nelygybės su moduliais

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą fx⋛a, fx⋛gx. Mokoma(si) tokias nelygybes spręsti, naudojantis modulio samprata.

35.3Geometrija ir matavimai

35.3.1

Plokštumos vektoriai ir veiksmai su jais

Apibrėžiamas kampas tarp vektorių. Apibrėžiama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius. Įrodoma, kad vektoriaus kvadratas (vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi) yra lygus vektoriaus ilgio kvadratui. Primenama, kaip randama vektorių suma (naudojantis trikampio ir lygiagretainio taisyklėmis; paaiškinama daugiakampio taisyklė), vektorių skirtumas, vektoriaus ir skaičiaus sandauga. Mokoma(si) nurodytą daugiakampio vektorių išreikšti kitais nurodytais to daugiakampio vektoriais. Apibrėžiama ir paaiškinama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius, pabrėžiant, kad skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius, o ne vektorius. Veiksmams su vektoriais taikomos žinomos veiksmų su skaičiais savybės: a+b=b+a, a+b+c=a+b+c, c∙a+b=c∙a+c∙b, a∙b=b∙a, c∙a∙b=c∙a∙b, a+b∙c=a∙c+b∙c.

35.3.2

Vektoriai stačiakampėje koordinačių plokštumoje

Mokoma(si) nusakyti vektorių, nurodant jo pradžios ir pabaigos koordinates; apibrėžiant koordinačių plokštumos taško vietos vektorių ir mokantis bet kurį koordinačių plokštumos vektorių išreikšti jam lygiu taško vietos vektoriumi. Mokoma(si) apskaičiuoti vektoriaus ilgį ir įrodyti vektoriaus ilgio formulę. Mokoma(si) apskaičiuoti vektorių sumą, skirtumą, sandaugą su skaičiumi bei skaliarinę sandaugą, paaiškinant atliekamų veiksmų prasmingumą. Apibrėžiami koordinačių ašių vienetiniai vektoriai ir mokoma(si) jais reikšti koordinačių plokštumos vektorius. Apibrėžiami kolinearieji ir statmenieji vektoriai. Analizuojamos dviejų vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlygos bei sprendžiami su šiais faktais susiję uždaviniai.

20 priedas · 36 ir 37 punktas

IV gimnazijos klasė

16temos9pakeista

Ko nebeliko

  • Įvadas į statistinę duomenų analizę, abiejuose kursuose
  • Tangentas bendrajame kurse
  • Trigonometrinių funkcijų išvestinių įrodymai
  • Kampas tarp prasilenkiančių tiesių bendrajame kurse

Bendrasis kursas

36 punktas

36.1Modeliai ir sąryšiai

36.1.1

Trigonometrinės lygtys

pakeistaAtsisakyta tangento.

Mokoma(si) tapačiai pertvarkyti skaitinius ir raidinius reiškinius, taikant formules: sin²α + cos²α = 1, sin-α=-sinα, cos-α=cosα, sinα+360°∙k=sinα, cosα+360°∙k=cosα, k∈Z. Nagrinėjami situacijų, kai sudaromos ir sprendžiamos trigonometrinės lygtys, pavyzdžiai. Aptariama, kada patogu trigonometrines lygtis spręsti algebriniu būdu. Pateikiamos ir aptariamos lygčių sinx=a (a∈-1;1), cosx=a (a∈-1;1) sprendinių formulės. Mokoma(si) spręsti a∙fx+b=0, kur fx= sinx, (a,b∈R, a≠0) pavidalo lygtis. Praktikuojamasi rasti trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.

36.1.2Funkcijos išvestinė

36.1.2.1

Funkcijos išvestinės samprata

Aiškinama(si), ką vadiname funkcijos argumento pokyčiu ir funkcijos reikšmės pokyčiu. Šių pokyčių santykis ∆y∆x susiejamas su tiesės y=kx+bkrypties koeficientu k ir paaiškinama, kaip su juo susijęs funkcijos reikšmių kitimas. Apibrėžiama (tolydžios) funkcijos y=fx grafiko liestinės, einančios per nurodytą grafiko tašką, sąvoka, paaiškinama, kaip per grafiko tašką a;fa einanti liestinė apibūdina funkcijos reikšmių kitimą pereinant šį tašką (geometrinė išvestinės prasmė). Pateikiamas funkcijos y=fx išvestinės taške, kurio x=a ryšys su tame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės krypties koeficientu (k= f'a). Formuluojamas funkcijos y=fx išvestinės taške x=a apibrėžimas, išvestinės funkcijos y=f'x apibrėžimas. Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, mokoma(si) rasti pastoviosios, tiesinės ir kvadratinės funkcijų išvestines. Be įrodymo pateikiama laipsninės funkcijos y=fx=xn (n ∈Z) išvestinės radimo taisyklė ir taisyklės, kuriomis naudojantis galima apskaičiuoti išvestines: a∙fx'=a∙f'x, fx+gx'=f'x+g'x, fx-gx'=f'x-g'x. Mokoma(si) apskaičiuoti funkcijos išvestinės reikšmę duotame taške, spręsti lygtį f'x=a. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariama fizikinė išvestinės prasmė.

36.1.2.2

Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine

Apibrėžiamos sąvokos: funkcijos kritiniai, ekstremumo (minimumo ir maksimumo) taškai, ekstremumai. Išsiaiškinama, kodėl ir kaip, naudojantis išvestine, galima surasti funkcijos apibrėžimo srities intervalus, kuriuose funkcija yra didėjančioji, mažėjančioji, pastovioji, funkcijos ekstremumus, didžiausiąją ir mažiausiąją funkcijos reikšmes uždarame intervale. Tiriamos funkcijų, išreiškiamų ne aukštesnio negu trečiojo laipsnio daugianariu, savybės, braižomi jų grafikų eskizai. Praktikuojamasi taikyti išvestines, sprendžiant optimizavimo uždavinius.

36.2Geometrija ir matavimai

36.2.1

Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje

pakeistaAtsisakyta kampo tarp prasilenkiančių tiesių.

Susipažįstama su stereometrijos aksiomomis: per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai. Aptariamos teoremas: per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. Mokoma(si) taikyti šias teoremas. Tyrinėjama ir apibrėžiama, kokios gali būti tiesės ir plokštumos, dviejų plokštumų tarpusavio padėtys. Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje: atstumas tarp dviejų taškų, tarp taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokoma(si) jį rasti ar pavaizduoti brėžinyje, modelyje. Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje. Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Mokoma(si) šias žinias taikyti, nagrinėjant paprasčiausias realias situacijas, sprendžiant paprasčiausius uždavinius.

36.2.2

Briaunainiai, sukiniai

Apibrėžiamos sąvokos: sukinys, briaunainis. Mokoma(si) atpažinti erdvės figūras: stačiąsias prizmes, piramides, ritinius, kūgius ir rutulius. Išsiaiškinama, kaip brėžinyje tinkamai pavaizduoti taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižinį pjūvį, taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižinį pjūvį, ritinio ir kūgio ašinius pjūvius. Sprendžiami su erdvės figūrų pjūvio plotu, paviršiaus plotu ir tūriu susiję uždaviniai. Susipažįstama su taisyklingųjų briaunainių, sukinių pasireiškimo gamtoje ir žmogaus veikloje pavyzdžiais.

36.3Tikimybės

36.3

Tikimybės ir jų interpretavimas

pakeistaPanaikintas buvęs punktas „Įvadas į statistinę duomenų analizę“. Statistikos 12 klasėje nebeliko, liko tik tikimybės.

Sprendžiant uždavinius, naudojamasi tikimybės apibrėžimu ir tikimybių savybėmis: būtinojo įvykio tikimybė Pbūtinojo= 1, negalimojo įvykio Pnegalimojo= 0, vienas kitam priešingų įvykių tikimybių suma PA+PA=1. Nagrinėjami paprasčiausi dviejų trijų etapų bandymai (stochastiniai bandymai) ir su jo etapais susiję nepriklausomi ar priklausomi įvykiai (negrąžintinio ir grąžintinio ėmimo atvejai). Braižomi tikimybių medžiai ir analizuojami su bandymu susiję nesutaikomi įvykiai, mokoma(si) be formulių apskaičiuoti įvykių „A arba B“, „A ir B“ tikimybes, atkreipiamas dėmesys į jungtukų „ir“ bei „arba“ esmę. Aptariama, kokie bandymo (stochastinio bandymo) įvykiai vadinami elementariais, o kokie – sudėtiniais. Mokoma(si) atpažinti ir formuluoti su bandymu susijusius sudėtinius įvykius, apskaičiuoti jų tikimybes. Nagrinėjant pavyzdžius, aptariama, kokie įvykiai vadinami nesutaikomais, sutaikomais. Mokoma(si) tokiems įvykiams palankias baigtis pavaizduoti Veno diagramomis, galimybių medžiais, galimybių lentelėmis. Praktikuojamasi apskaičiuoti įvykių tikimybes.

Išplėstinis kursas

37 punktas

37.1Modeliai ir sąryšiai

37.1.1

Trigonometrinės lygtys ir nelygybės

pakeistaPatikslinta: antrojo laipsnio homogeninės lygtys nenagrinėjamos.

Mokoma(si) įrodyti trigonometrines formules: sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ, cosα±β=cosαcosβ∓sinαsinβ, 1 + tg²α = 1/cos²α, tgα±β=tgα±tgβ1∓tgαtgβ, tg2α=2tgα1-tg2α, sin2α = 2sinα·cosα, cos2α = cos²α − sin²α. Naudojantis trigonometrinėmis formulėmis, mokoma(si) tapačiai pertvarkyti trigonometrinius reiškinius. Nagrinėjami situacijų, kai sudaromos ir sprendžiamos trigonometrinės lygtys, pavyzdžiai. Pateikiamos ir aptariamos lygčių sinx=a (a∈[-1;1]), cosx=a (a∈-1;1), tgx=a a∈R sprendinių formulės ir mokoma(si) jomis naudotis, sprendžiant lygtis: a∙fkx+b+c=0 (a,k,b, c∈R, a,k ≠0; fx=sinx, cosx, tgx); a∙fx+bc∙gx+d=0 (a, b,c, d∈R, a,c≠0; fx=sin(x), cos(x), tg(x)); trigonometrines lygtis, kurios, naudojantis keitiniu, suvedamos į kvadratines lygtis (antrojo laipsnio homogeninės lygtys nenagrinėjamos). Mokoma(si) rasti sprendinius trigonometrinių nelygybių: a∙fx+b⋛0 (a,b∈R, a≠0; fx=sin(x), cos(x), tg(x)). Praktikuojamasi rasti trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.

37.1.2Funkcijos išvestinė

37.1.2.1

Tolydžios funkcijos ir jos ribos samprata

pakeistaSiaurinama: apsiribojama grafine ribos interpretacija ir vieno tipo ribų skaičiavimu.

Grafiškai iliustruojama funkcijos y=fx ribos sąvoka, kai x→a (a∈R), x→+∞, x→-∞. Nagrinėjant pavyzdžius, ugdomas intuityvus funkcijos reikšmių artėjimo prie funkcijos ribos, funkcijos tolydumo taške bei intervale supratimas. Mokoma(si) rasti ribas limx→afx, kai taške, kurio x=a, funkcija y=fx yra apibrėžta ir tolydi. Mokoma(si) apskaičiuoti ribas limgx→0fxgx, kai suprastinus reiškinį fxgx, gaunama tolydi funkcija. Formuluojamos ir aiškinamos funkcijų ribų skaičiavimo taisyklės (ribų savybės): funkcijų sumos skirtumo, sandaugos ir dalmens ribos, pabrėžiant, kad šios taisyklės taikomos, kai atitinkamos ribos egzistuoja, o dalmens atveju vardiklio riba nėra lygi nuliui.

37.1.2.2

Funkcijos išvestinės samprata

pakeistaPatikslinta liestinės krypties koeficiento formuluotė.

Nagrinėjamas funkcijos nepriklausomojo kintamojo (argumento) pokytis ir priklausomojo kintamojo (funkcijos reikšmės) pokytis bei šių pokyčių santykis; tolydžios funkcijos y=fx grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką a;fa, sąvoka. Pateikiamas funkcijos y=fxišvestinės taške x=aapibrėžimas; išvestinės funkcijos y=f'x apibrėžimas; grafiko liestinės (y=kx+b), einančios per grafiko tašką, kuriame x=a, krypties koeficiento ir funkcijos išvestinės taške x=a ryšys (k= f'a=tg(α), čia α yra kampas tarp funkcijos grafiko liestinės ir abscisių ašies teigiamos pusašės); išvedama liestinės lygtis. Naudojantis funkcijos y=fxišvestinės funkcijos y=f'x apibrėžimu, mokoma(si) rasti tiesinės y=fx=kx+b ir kvadratinės y=fx=ax2+bx+c funkcijų išvestines, ir funkcijos grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką a;fa, lygtį. Nagrinėjant judėjimus (pastoviu greičiu ir su pagreičiu), aptariama funkcijos išvestinės fizikinė prasmė.

37.1.2.3

Išvestinių skaičiavimas

pakeistaAtsisakyta trigonometrinių funkcijų išvestinių formulių įrodymų.

Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, įsitikinama, kad skaičiaus (konstantos) išvestinė lygi 0, t. y. c'=0; skaičiaus ir funkcijos reiškinio fx sandaugos išvestinė lygi skaičiaus ir funkcijos išvestinės sandaugai, t. y. c∙fx'=c∙f'x; funkcijų reiškinių sumos (skirtumo) išvestinė lygi funkcijų reiškinių išvestinių sumai (skirtumui), t. y. fx±gx'=f'x±g'x; funkcijų reiškinių sandaugos išvestinė lygi fx∙gx'=f'x∙gx+g'x∙fx. Funkcijų reiškinių dalmens išvestinė lygi fxgx'=f'x∙gx-g'x∙fxg2x. Sudėtinės funkcijos reiškinio išvestinė lygi fgx'=f'gx∙g'x (ši formulė pateikiama be įrodymo). Be įrodymų pateikiamos elementariųjų funkcijų reiškinių išvestinės: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, ex'=ex, ax'=ax∙lna, (lnx)'=1x, logax'=1x∙lna, (sinx)'=cosx, cosx'=-sinx, tgx'=1cos2x. Naudojantis išvestinių skaičiavimo taisyklėmis ir formulėmis, mokoma(si) apskaičiuoti įvairių reiškinių ir funkcijų išvestines.

37.1.2.4

Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine

Apibrėžiamos sąvokos: kritinis taškas, ekstremumo taškas, funkcijos ekstremumas, grafiko kritinis taškas, grafiko ekstremumo taškas. Mokoma(si), naudojantis funkcijos išvestine, apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale. Braižomas ne aukštesnio kaip ketvirtojo laipsnio funkcijos grafiko (y=ax4+bx3+cx2+dx+e; a,b,c,d,e∈R) eskizas. Naudojantis išvestine, sprendžiami optimizavimo uždaviniai uždarame ir atvirame intervale.

37.2Geometrija ir matavimai

37.2.1

Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje

Mokoma(si) aksiomų: per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai. Mokoma(si) įrodyti teoremas: per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. Aptariamos erdvės tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys: erdvės tiesės gali sutapti, kirstis, būti lygiagrečios, prasilenkiančios; plokštumos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikertančios; plokštuma ir tiesė gali būti lygiagrečios, tiesė gali kirsti plokštumą, priklausyti plokštumai. Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje: atstumai tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių ir prasilenkiančių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokoma(si) jį rasti bei pavaizduoti brėžinyje. Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje. Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Įrodomos trijų statmenų ir jai atvirkštinė teoremos. Nagrinėjami ir braižomi stereometrijos brėžiniai bei sprendžiami įvairūs uždaviniai.

37.2.2

Briaunainiai, sukiniai

Klasifikuojami erdviniai kūnai. Briaunainiai: stačiosios prizmės; piramidės (netaisyklingosios ir taisyklingosios), nupjautinės piramidės. Sukiniai: ritiniai, kūgiai, nupjautiniai kūgiai, sferos, rutuliai ir rutulių nuopjovos. Mokoma(si) šiuos erdvinius kūnus vaizduoti ir atpažinti. Apibrėžiamos su erdviniais kūnais susijusios sąvokos: šoninis ir visas paviršius, pagrindas, aukštinė, apotema, sudaromoji, gretasienio įstrižainė; sukinių ašiniai pjūviai, kūgio, ritinio, piramidės pjūviai plokštumomis, lygiagrečiomis su pagrindais. Aptariamos situacijos, kai kūną kertant lygiagrečia pagrindui plokštuma gaunami panašūs kūnai. Nagrinėjami taisyklingosios piramidės pjūviai, einantys per piramidės aukštinę; rutulio pjūviai; gretasienio pjūviai, einantys per gretasienio priešingas briaunas. Mokoma(si) apskaičiuoti erdvinių kūnų paviršių plotus ir tūrius, jų pjūvių plotus, perimetrus ir atskirus elementus. Nagrinėjami panašių kūnų elementų ilgių, plotų, tūrių santykiai. Sprendžiami įvairūs su briaunainiais ir sukiniais susiję uždaviniai.

37.3Tikimybės

37.3.1

Rinkiniai: kėliniai, gretiniai, deriniai

pakeistaVietoj „Įvado į statistinę duomenų analizę“ įrašyta kombinatorika: kėliniai, gretiniai, deriniai, Niutono binomas.

Nagrinėjami elementų rinkiniai, kurie sudaromi, elementus imant iš vienos aibės, dviejų ar daugiau aibių. Aiškinama(si), kuo skiriasi tokie galimi sudaryti rinkiniai (elementais, elementų tvarka), kaip, naudojantis kombinatorikos daugybos taisykle, galima apskaičiuoti sudaromų rinkinių skaičių (pavyzdžiais iliustruojama kombinatorikos sudėties taisyklė). Apibrėžiamos sąvokos: kėliniai, gretiniai ir deriniai; pateikiamos ir pagrindžiamos jų skaičių radimo formulės, pastebint šių formulių tarpusavio ryšį. Pateikiami ir nagrinėjami derinių skaičiaus formulės taikymai, pavyzdžiui, Bernulio bandymų formulė, Niutono binomo formulė. Sprendžiant kombinatorikos uždavinius (nustatant rinkinių skaičių), mokoma(si) naudotis galimybių medžiais, galimybių lentelėmis ar kitaip surašyti reikiamus rinkinius.

37.3.2

Klasikiniai ir neklasikiniai tikimybiniai modeliai

Analizuojama, kuo tikimybių teorija yra reikšminga kasdieniame gyvenime. Plėtojami įgūdžiai, susiję su klasikiniais (kai visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) ir neklasikiniais (kai ne visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) tikimybiniais bandymais. Analizuojamos sąvokos: klasikinis ir neklasikinis tikimybiniai bandymai, bandymo baigtis (elementarusis įvykis), bandymo įvykis, įvykiui palankios ar nepalankios baigtys, būtinasis įvykis, negalimasis įvykis, nesutaikomieji įvykiai, sutaikomieji įvykiai, nepriklausomieji įvykiai, priklausomieji įvykiai, bandymo baigties ar įvykio tikimybė, tikimybių savybės, Bernulio (binominiai) bandymai. Mokoma(si) pagrįsti pavyzdžiais ir įrodyti tikimybių savybes: būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, vienas kitam priešingųjų įvykių, visų elementariųjų įvykių sumos, nesutaikomųjų įvykių, nepriklausomųjų įvykių, sutaikomųjų įvykių. Sprendžiant uždavinius, mokoma(si) apskaičiuoti: bandymo baigties ar įvykio tikimybę, ją nurodyti intervalo 0;1 skaičiumi ir procentais; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų nesutaikomųjų įvykių; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks abu tarpusavyje nepriklausomieji įvykiai; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų sutaikomųjų įvykių; su Bernulio bandymais susijusias tikimybes.

37.3.3

Atsitiktiniai dydžiai

pakeistaPatikslinta normaliojo skirstinio formuluotė.

Įvedamos atsitiktinio dydžio ir jo skirstinio sąvokos; pateikiama atsitiktinių dydžių ir jų skirstinių pavyzdžių. Mokoma(si) sudaryti atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę, apskaičiuoti jo matematinę viltį (atsitiktinio dydžio vidurkį), standartinį nuokrypį ir dispersiją. Analizuojamos šios skaitinės charakteristikos. Mokoma(si) atpažinti normaliojo (Gauso) skirstinį, nurodyti jo simetrijos ašį, atsitiktinio dydžio vidurkį, bei suprasti formos priklausomybę nuo vidurkio ir standartinio nuokrypio. Mokoma(si) atpažinti normalųjį skirstinį realaus gyvenimo situacijose ir spręsti su juo susijusius praktinius uždavinius.